ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC : 2023- 2024 .

I . ĐẠI SỐ : ( Từ 6,0- 6,5 đ) Thời gian ôn thi ( 10 - 13 buổi )
A . Chủ đề I : Toán biểu thức rút gọn : ( 2,5 - 3,0 đ) - Thời gian 6 buổi
Nội dung ôn tập chủ đề này gồm có dạng toán sau :
 Rút gọn biểu thức
 Tính giá trị biểu thức khi biết giá trị biến
 Tính giá trị biến khi biết giá biểu thức
 Tìm giá trị của biến để giá trị biểu thức dương hoặc âm hoặc bằng o
 Tìm giá trị của biến để giá trị biểu thức đat giá trị max , hoặc min.
 Tìm giá trị của biến để giá trị biểu thức là số nguyên
 So sánh giá trị biểu thức….
BÀI 1 .
Câu 1(2,0đ): Cho Biểu Thức :

A=( + ):( - ) +

a, Rút gọn bt A .
b, Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
c , Với giá trị nào của x thì A đạt Min ?

Hướng dẫn giải- áp án : Đề1 .

Câu 1 (2,0đ):
a, (*)
ĐK :
x>0; x≠1.
(*)
Rút gọn : A =
b,
Khi : x = 7 + 4 => A = c,
Tìm x để A đạt min : Biến đổi A ta có :
A = đạt min  x = => A (min) = 4  x =  ĐKXĐ ( nhận)

BÀI 2 .
Cho Biểu Thức :
P = ( - ) . ( )2 .
a, Rút gọn bt P .
b, Tính giá trị của P khi / 2x - 6 / = 4
c , Tìm x để : P >0 .

GV : Xuân Hà

1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
d, Tìm x để P đạt max ?
Hướng dẫn giải - áp án: Đề 2 .
a,

(*)

b,

ĐKXĐ : ( x  0 ; x≠ 1 )
(*) Rút gọn P ta có : P = ( 1- ).
Giải pt : = 4 ta có : x1 = 5 và x2 = 1  ĐKXĐ ( loại )
Vậy : x = 5 thì P = ( 1- ) .
P > 0  (1- ) > 0  x > 0 và x < 1  ( 0 < x < 1 )
P = - x = - ( - ) 2 + = - ( - )2 
Vậy : P ( max) =  x = ( thuộc ĐKXĐ)

c,
d,

BÀI 3:
Cho biểu Thức :
A= - .
a, Tìm điều kiện xác định của A , rút gọn A ?
b, Tính giá trị của A khi x = 3 + 2 .
c, Tìm x khi A = 2 + 3
d, Tìm giá trị của x nguyên để A có giá trị là số nguyên
Hướng dẫn giải - đáp án -đề 3:
a,
b,
c,

(*) Đkxđ :
x>0;x≠1
(*) Rút gọn ta có : A = ( + 1)2 .
Thay x = 3+ 2 vào A ta được : A = 2 ( 3 + 2 )
Khi A = 2 + 3 ta giải pt : ( +1)2 = 2 + 3
 x = 2 (thõa mãn đk)
Ta có A  Z   Z  x là số chính phương
 x = { 4;9;16;25;…}

d,

BÀI 4
Cho biểu thức A = - a, Rút gọn A
b, Tìm x để A < 1
c, Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên
d, Tìm giá trị của x để biểu thức M = đạt Min
Hướng dẫn giải-đáp án-Đề 4:

GV : Xuân Hà

2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
a,

(*) ĐKXĐ : x  0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9 .
(*) Rút gọn : A =
b, Tìm x khi A < 1  giải ra ta có x < 9 hét hợp đk ta có nghiệm:
( 0  x <9 ; x ≠ 4 )
c , Tìm x thuộc Z để A  Z  A = 1 +  Z  -3 Ư(4)
 x = { 1 ; 16 ; 25 ; 49 } Z thõa A  Z .
d, Tìm x để M = đạt Min  M = = 1 - 
M (min) = -3  x = 0 .

BÀI 5

d,

Cho biểu thức :
A= - :
a,
Tìm tập xác định của A, rút gọn A ?
b, Tìm a để : A = c,
Tính A khi : 3 = 27.
Tìm a là số nguyên , để giá trị của A là nguyên

Hướng dẫn giải - đáp án Đề 5:
a,

(*) Đk : a > 0 ; a ≠ 1 ; a ≠ -+ 2 .
(*) Rút gọn : A =
b, kết hợp Đk và giải ra ta có : a =  đkbt ( nhận) .
c, Tính A khi : 3 / 2a - 5/ = 27  a = 7  đkbt ( nhận) ,
Thay a = 7 vào A Ta có : A = = .
d, Tìm a  Z để A  Z  A = 2- A  Z  a = 6  đkbt ( nhận)

BÀI 6
Cho biểu thức :
a,
b,
c,
d,
GV : Xuân Hà

M= - : +
Rút gọn M.
Tính Giá trị M khi : x =
Tìm x để : M =
Tìm x để : M > 0 .

3

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.

Hướng dẫn tóm tắt đề 6
1a,
1b,
1c,
1d,

M =
M=
M= x=
M>0 x>1.

BÀI 7
Cho biểu thức : Q = : + a, Rút gọn Q.
b, Tính Q khi a =
c, Xét dấu của biểu thức : H = a(Q - )

BÀI 9:
Cho Bt : B = + +
a, Tìm TXĐ của B , Rút gọn B .
b, Tính B khi
x=
c, Tìm x khi : B =
d, Tìm x để :
Q = 3B + 15 đạt min
BÀI 10:
a,
b,
c,
d,

Cho biểu thức : Q = ( 1+ ): ( - )
Rút gọn Q .
Tính Q khi : x = 4 + 2
Tìm x để : Q > 1 .
Tìm x để :
K = : đạt max ?

GV : Xuân Hà

4

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.

BÀI 11 :
Cho Bt : Q = - a, Tìm TXĐ Q , rút gọn Q ?
b, Tính giá trị Q khi x =
c, Tìm x khi Q = d, Tìm x để Q đạt min ?

B . Chủ đề II : Toán giải lập PT

: (1,5 - 2,0 đ) - Thời gian 5 buổi
- Gồm 3 đại lượng :
- Trong đó biết 1 đại lượng , chọn 1 đại lượng làm ẩn ,
Biểu diễn 1 đại lượng qua biến và đại lượng đã biết.

a, Dạng Chuyển động : 1,5 buổi
*Một động tử chuyển động
*Hai động tử chuyển đông cùng chiều và ngược chiều .
- Gồm 3 đại lượng : quảng đường , vận tốc , thời gian .
* Công thức liên quan : S = v.t => v = => t =
* Các bài tập vận dụng :
*Một động tử chuyển động
Bµi 1 :
Mét can« xu«i dßng 42 km råi ngîc dßng trë l¹i lµ 20 km mÊt tæng céng 5 giê . BiÕt
vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2 km/h. T×m vËn tèc cña can« lóc dßng níc yªn lÆng.

Bµi 2 :
Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc trung b×nh 30 km/h . Khi ®i ®Õn B ngêi ®ã
nghØ 20 phót råi quay trë vÒ A víi vËn tèc trung b×nh 25 km/h. TÝnh qu·ng ®êng AB ,
biÕt r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ 5 giê 50 phót.
Bµi 3:
Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc
35 km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1
giê. TÝnh qu·ng ®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu .

GV : Xuân Hà

5

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
Bµi 4:
Mét tµu thñy ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km, c¶ ®i lÉn vÒ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh
vËn tèc cña tµu thñy khi níc yªn lÆng. biÕt r»ng vËn tèc cña dßng níc lµ 4 km/h.
*Hai động tử chuyển đông cùng chiều và ngược chiều .
Bµi1:
Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ ®Þa ®iÓm A ®Õn ®Þa ®iÓm B. Mçi giê « t« thø nhÊt
ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 12 km nªn ®Õn ®Þa ®iÓm B tríc « t« thø hai lµ 100 phót .
TÝnh vËn tèc cña mçi « t« biÕt qu·ng ®êng AB dµi 240 km.
Bµi 2 :
Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch nhau 150 km, ®i ngîc chiÒu
nhau vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A
t¨ng thªm 5 km/h vµ vËn tèc cña « t« B gi¶m 5 km/h th× vËn tèc cña «t« A b»ng 2 lÇn
vËn tèc cña « t« B.
Bµi 3*:
Mét «t« ®i tõ A ®Õn B. Cïng mét lóc «t« thø hai ®i tõ B ®Õn A víi vËn tèc b»ng

vËn

tèc cña «t« thø nhÊt. Sau 5 giê chóng gÆp nhau. Hái mçi «t« ®i c¶ qu·ng ®êng AB mÊt
bao l©u ?
Bµi 4 *:
Mét «t« du lÞch ®i tõ A ®Õn C. Cïng mét lóc tõ ®Þa ®iÓm B n»m trªn ®o¹n ®êng AC, cã
mét «t« vËn t¶i cïng ®i ®Õn C. Sau 5 giê hai «t« gÆp nhau t¹i C. Hái «t« du lÞch ®i tõ A
®Õn B mÊt bao l©u, biÕt r»ng vËn tèc cña «t« vËn t¶i b»ng

cña «t« du lÞch.

Bµi 5 :
Mét ngêi ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 50 km. Sau ®ã 1giê 30 phót, mét ngêi ®i xe
m¸y còng ®i tõ A vµ ®Õn B sím h¬n 1 giê. TÝnh vËn tèc cña mçi xe, biÕt r»ng vËn t«c
cña xe m¸y gÊp 2,5 lÇn vËn tèc cña xe ®¹p.
Bµi 6 :
Hai can« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch nhau 85 km vµ ®i ngîc chiÒu nhau. Sau
1 giê 40 phót th× hai can« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc riªng cña mçi can«, biÕt r»ng vËn tèc
cña can« ®i xu«i dßng th× lín h¬n vËn tèc cña can« ®i ngîc dßng lµ 9 km/h vµ vËn tèc
cña dßng níc lµ 3 km/h
Bµi 7 :
Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A. Sau 5giê 20 phót, mét can« ch¹y tõ bÕn
A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km . Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng can«
ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 km mét giê.

Bµi 8 :
Qu·ng ®êng AB dµi 270 km. Hai «t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. ¤t« thø nhÊt
ch¹y nhanh h¬n «t« thø hai 12 km/h, nªn ®Õn tríc «t« thø hai 40 phót. TÝnh vËn tèc cña
mçi xe.
Bµi 9 :
Hai can« cïng khëi hµnh mét lóc vµ ch¹y tõ bÕn A ®Ðn bÕn B. Can« I ch¹y víi vËn tèc
20 km/h, can« II ch¹y víi vËn tèc 24 km/h. Trªn ®êng ®i, can« II dõng l¹i 40 phót, sau

GV : Xuân Hà

6

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
®ã tiÕp tôc ch¹y víi vËn tèc nh cò. TÝnh chiÒu dµi qu·ng s«ng AB, biÕt r»ng hai can« ®Õn
B cïng mét lóc.

b, Dạng Công việc

:

1,5 buổi

- Gồm 3 đại lượng : Khối lượng công việc, năng suất , thời gian .
* Công thức liên quan : m = ns.t => ns = => t =
* Phương trình : có dạng : + =
*

Các bài tập vận dụng :

Bµi1 :
Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giê
vµ ngêi thø hai lµm 6 giê th× hä lµm ®îc 25% c«ng viÖc. Hái mçi ngêi lµm mét m×nh
c«ng viÖc ®ã mÊy giê th× xong.
Bµi 2 :
Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× sau
ch¶y ®îc b»ng

giê bÓ ®Çy. Mçi giê lîng níc cña vßi I

lîng níc ch¶y ®îc cu¶ vßi II. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× trong bao

l©u ®Çy bÓ ?

Bµi 3 :
Hai ®éi x©y dùng cïng lµm chung mét c«ng viÖc vµ dù ®Þnh lµm xong trong 12 ngµy.
Hä lµm chung víi nhau ®îc 8 ngµy th× ®éi 1 ®îc ®iÒu ®éng ®i lµm viÖc kh¸c, cßn ®éi 2
tiÕp tôc lµm. Do c¶i tiÕn kü thuËt, n¨ng xuÊt t¨ng gÊp ®«i nªn ®éi 2 lµm xong phÇn viÖc
cßn l¹i trong 3ngµy rìi. Hái nÕu mçi ®éi lµm mét m×nh th× sau bao nhiªu ngµy sÏ lµm
xong c«ng viÖc nãi trªn ( víi n¨ng suÊt b×nh thêng ).

Bµi 4 :
NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 1 giê 20 phót ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt
trong 10 phót vµ vßi thø hai trong 12 phót th× ®Çy

bÓ. Hái nÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh

th× ph¶i bao l©u míi ®Çy bÓ.
Bµi 5 :
Hai m¸y cµy cïng cµy xong thöa ruéng th× 2 giê xong. NÕu lµm riªng th× m¸y thø nhÊt
hoµn thµnh sím h¬n m¸y thø hai 3 giê. Hái mçi m¸y, cµy riªng th× sau bao l©u cµy xong
thöa ruéng.

c, Dạng Sản phẩm

GV : Xuân Hà

:

1 buổi
7

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
- Gồm 3 đại lượng : Khối lượng công việc, năng suất , thời gian .
* Công thức liên quan : m = ns.t => ns = => t =
* Các bài tập vận dụng :
Bµi 1 :
Trong ngµy thø nhÊt, hai ph©n xëng s¶n xuÊt ®îc 720 s¶n phÈm. Trong ngµy thø hai,
ph©n xëng 1 vît møc ®îc 15% , ph©n xëng 2 vît møc ®îc 12% nªn c¶ hai ph©n xëng s¶n
xuÊt ®îc 819 s¶n phÈm. TÝnh xem trong ngµy thø hai mçi ph©n xëng s¶n xuÊt ®îc bao
nhiªu s¶n phÈm ?
Bµi 2 :
Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 120 tÊn hµng. H«m lµm viÖc cã 2 xe ph¶i ®iÒu ®i n¬i kh¸c
nªn mçi xe ph¶i chë thªm 16 tÊn . Hái ®éi cã bao nhiªu xe ?
Bµi 3 :
Sè ngêi cña ®éi thñy lîi thø nhÊt gÊp ®«i sè ngêi cña ®éi thñy lîi hai. §éi thø nhÊt ®µo
®îc 2700 m3 ®Êt,®éi thø hai ®µo ®îc 1275 m3 ®Êt. BiÕt r»ng b×nh qu©n mçi ngêi cña ®éi
thø nhÊt ®µo ®îc nhiÒu h¬n mçi ngêi cña ®éi thø hai lµ 5 m3. TÝnh sè ngêi cña mçi ®éi.
Bµi 4 :
Mét ®éi m¸y kÐo dù ®Þnh mçi ngµy cµy 40 ha .Khi thùc hiÖn, mçi ngµy ®éi m¸y kÐo
cµy ®îc 52 ha. V× vËy, ®éi kh«ng nh÷ng ®· cµy xong tríc thêi h¹n 2 ngµy mµ cßn cµy
thªm ®îc 4 ha n÷a.TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng mµ ®éi ph¶i cµy theo kÕ ho¹ch ®· ®Þnh.
Bµi 5 :
Mét ®éi c«ng nh©n hoµn thµnh mét c«ng viÖc víi møc 420 ngµy c«ng thî. H·y tÝnh sè
c«ng nh©n cña ®éi, biÕt r»ng nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ngêi th× sè ngµy ®Ó hoµn thµnh c«ng
viÖc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy.
Bµi 6 :
Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®îc xÕp thµnh tõng d·y vµ sè ghÕ cña mçi d·y lµ nh
nhau. NÕu sè d·y t¨ng thªm 1vµ sè ghÕ cña mçi d·y còng t¨ng thªm 1 th× trong phßng
cã 400 ghÕ. Hái trong phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ vµ mçi d·y cã bao nhiªu ghÐ .
d, Dạng Khác

:

1 buổi
*To¸n phÇn %:

Bµi 1 :
D©n sè x· X hiÖn nay cã 10.000 ngêi . Ngêi ta dù ®o¸n sau 2 n¨m d©n sè x· X sÏ
lµ10.404 ngêi. Hái trung b×nh hµng n¨m d©n sè x· X t¨ng bao nhiªu % .
Bµi 2 :
N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ngêi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng
1,2 %, cßn tØnh B t¨ng 1,1 %. Tæng sè d©n cña hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ngêi . TÝnh
sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay.
*To¸n d¹ng hãa häc :
Bµi 1:
Cho mét lîng dung dÞch chøa 10 % muèi. NÕu pha thªm 200 g níc th× ®îc mét dung
dÞch 6 %. Hái cã bao nhiªu g dung dÞch ®· cho ?
Bµi2:

GV : Xuân Hà

8

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
Cã hai lo¹i dung dÞch chøa cïng mét thø axit; lo¹i I chøa 30 % axit, lo¹i II chøa 5 %
axit. Muèn cã 50 lÝt dung dÞch chøa 10 % axit th× cÇn ph¶i trén lÉn bao nhiªu lÝt dung
dÞch mçi lo¹i ?
*To¸n d¹ng lý häc
Bµi 1 :
Mét vËt lµ hîp kim ®ång vµ kÏm cã khèi lîng lµ 124 g vµ cã thÓ tÝch 15 cm 3. TÝnh xem
trong ®ã cã bao nhiªu g ®ång vµ bao nhiªu g kÏm, biÕt r»ng cø 89 g ®ång th× cã thÓ tÝch
lµ 10 cm3 vµ 7 g kÏm th× cã thÓ tÝch 1 cm3
Bµi 2 :
Ngêi ta hßa lÉn 8 g chÊt láng nµy vµ 6 g chÊt láng kh¸c cã khèi lîng riªng nhá
h¬n nã 200kg/m3 ®Ó ®îc mét hçn hîp cã khèi lîng riªng lµ 700 kg/m3.
T×m khèi lîng riªng cña mçi chÊt láng

*To¸n d¹ng sè häc
Bµi 1 :
Cho mét sè cã hai ch÷ sè. T×m sè ®ã, biÕt r»ng tæng hai ch÷ sè cña nã nhá h¬n sè ®ã 6
lÇn, nÕu thªm 25 vµo tÝch cña hai ch÷ sè ®ã sÏ ®îc mét sè viÐt theo thø tù ngîc lai víi sè
®· cho.
Bµi 2:
T×m tÊt c¶ c¸c ssè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ nhá h¬n ch÷ sè
hµng chôc lµ 2 vµ tÝch hai ch÷ sè cña mçi sè lu«n lín h¬n tæng hai ch÷ sè cña nã lµ 34.
*To¸n d¹ng h×nh häc
Bµi1 : TØ sè gi÷a c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ

. C¹nh

cßn l¹i dµi 8 cm . TÝnh c¹nh huyÒn.
Bµi 2:
Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280 m . Ngêi ta lµm mét lèi ®i xung quanh vên
(thuéc ®Êt cña vên) réng 2 m, diÖn tÝch cßn l¹i ®Ó trång trät lµ 4256 m 2. TÝnh kÝch thíc
cña vên.

C. Chủ đề III : Toán Đthị và PT tham số : ( 2,0 - 2,5 đ) _ Thời gian 5 buổi .
1. Sự tương giao giữa đường thẳng và đường cong .
a , vẽ 2 đồ thị trên cùng một mặt phẳng ,

GV : Xuân Hà

9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
b , Tìm giá trị tham số để đưởng và đường cong căt nhau tại 2 điểm phân biệt
c , Tìm giá trị tham số để đưởng và đường cong tiếp xúc nhau .
d , Tìm giá trị tham số để đưởng và đường cong không giao nhau .
* Các bài tập vận dụng
Bµi 1 :

Cho Parapol (P) : y = x2 vµ ®êng th¼ng (D) : y = x + b
a , T×m b biÕt (P) vµ (D) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm cã hoµnh ®é lµ 1 .
b , VÏ (D) vµ (P) víi gi¸ trÞ cña b võa t×m ®îc .
vµ x¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (D)

Bµi 2 (C§) :

Cho Parap«l (P) : y = ax2
a, X¸c ®Þnh a ®Ó (P) ®i qua ®iÓm M(-4;4) . VÏ (P) øng víi gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña a.
b, LÊy ®iÓm A(0;3) vµ lÊy ®iÓm B thuéc ®å thÞ võa vÏ. T×m ®é dµi nhá nhÊt cña AB.

Bµi 3 :

Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho ®iÓm M(0;2).

Cho parapol (P) : y =

vµ ®êng th¼ng (d) : ax + by = -2. BiÕt (d) ®i qua M.

a) CMR khi a thay ®æi th× (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B.
b) X¸c ®Þnh a ®Ó AB cã ®é dµi ng¾n nhÊt.
Bµi 4 (PT) :
Cho Parapol y =

x2, ®iÓm A(0;1) vµ ®êng th¼ng (d) cã PT : y = 1.

CMR MA b»ng kho¶ng c¸ch MH tõ ®iÓm M ®Õn ®êng (d)
Bµi 5 :
a) X¸c ®Þnh hÖ sè a cña Parapol y = a x 2, biÕt r»ng parapol ®i qua ®iÓm A(-2;-2).
b)T×m täa ®é cña ®iÓm M thuéc parapol nãi trªn, biÕt r»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn trôc
hoµnh gÊp ®«i kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn trôc tung.
Bµi 6 :
a) VÏ ®å thÞ cña hµm sè y =

.

b) Gäi C lµ mét ®iÓm tïy ý n»m trªn parapol nãi trªn. Gäi K lµ trung ®iÓm cña OC.
Khi C di chuyÓn trªn parapol ®ã th× ®iÓm K di chuyÓn trªn ®êng nµo.

GV : Xuân Hà

10

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
2. Phương trình , hệ phương trình , phương trình tham số .
a , Giải pt , hpt ,công thức nghiệm , nhẩm nghiệm , sử dụng định lý vi ét .
b , Tìm giá trị tham số để ptrinh có 2 nghiệm pb , nghiệm kép ,vô nghiệm .
c , Tìm gtrị tham số để ptrinh có 2 nghiệm cùng dương ,cùng âm ,cùng dấu
d , Tìm giá trị tham số để giá trị biểu thức là số dương , số âm .
e , Tìm giá trị tham số để giá trị biểu thức bằng số a ……
g , Tìm giá trị tham số để giá trị biểu thức đạt max , min…..
 Các bài tập vận dụng

Giải phương trình tham số
( Dành cho GV và HS luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 ).
Bài 1 :

Cho phương trình tham số m :

x2 – ( m + 1 )x + m = 0 .

(1)

1 , Giải pt (1) khi m = 1 .
2 , CMR : pt (1) luôn có nghiệm với mọi m thuộc R .
3 , Tìm giá trị của m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt
và 2 nghiệm cùng dương .(cùng dấu , cùng âm ,…)
4 , Tìm giá trị của m để pt (1) có nghiệm kép
và tìm gía trị của nghiệm kép đó .
5 , Tìm gia trị của m để pt (1) có một nghiệm x1= 3 ,
Và tìm nghiệm còn lại ( nghiệm x2 = ? ) .
6, Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt (1) , tìm giá trị của m ,
Để biểu thức : A = x12x2 + x22x1 + 2013 đạt giá trị nhỏ nhất ( min ) .
7 , Tìm giá trị của m để pt( 1) thỏa mãn hệ thức :x1 = 3 x2 .
( hay : x1 / x2 + x2 / x1 = 3 ; 3x1 + 2x2 = 5 ) .
8 , Giải và biện luận pt (1) theo m .
9 , Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của pt (1) đã cho CMR giá trị BT :
B = x1 ( 1 – x2 ) + x2 ( 1 – x1 ) + x1x2 , vào giá trị của m .
10 , Cho hình chữ nhật có 2 cạnh là a và b có chu vi bằng 10 ,
a và b là 2 nghiệm của pt (1) với a < b .Tính a và b ?
11 , Tìm m để tích 2 nghiệm bằng 5 và từ đó tính tổng 2 nghiệm ấy .
12 , Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ vào giá trị của m .
13 , Gọi 2nghiệm của pt(1)là x1và x2 .xác định giá trị của m
để:
.

GV : Xuân Hà

11

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
Bài hướng dẫn giải
1-Ta thay m = 1 vào pt (1) và giải pt có nghiệm:x1 = x2 =1 .
2-Tính giá trị :

= b2- 4ac = (m – 1)2 0 , m R .
Vậy pt (1) luôn có nghiệm
m

R.

3- Pt(1) có 2 nghiệm cùng dương  pt(1) thỏa mãn 3 điều kiện sau :
= b2- 4ac = (m – 1)2 > 0 (pt có 2 nghiệm phân biệt ) (1)
P = x1x2 = c/a = m > 0
( pt có 2 nghiệm cùng dấu ) (2)
S = x1 + x2 = -b /a =m +1 > 0 (pt có 2nghiệm cùng dương ) (3)
Từ pt (1) ,(2) và (3) ta dễ dàng suy ra : m > 0 và m 1 .
4,
Pt (1) có nghiệm kép  = 0  m – 1 = 0  m = 1 .
giải pt với m = 1 ta có nghiệm x1 = x2 = 1 .
5, Thay x1 = 3 vào pt (1) ta có pt : 9 – 3m -3 + m = 0
 2m = 6  m = 3 . Thay m =3 vào pt (1) ta tìm x2 = 1.
6, Ta có : A = x12x2 + x22x1 + 2013 = x1x2( x1 + x2) +2013
A = m .( m + 1 ) +2013 = m2 +m +1/4 + 8051/4
A = (m + 1/2 )2 + 8051 /4 8051 /4
A (min) = 8051/4  m + 1/2 = 0  m = - 1/2 .
7-

Tìm giá trị của m để pt (1) thỏa mãn hệ thức : x1 = 3x2 .
Kết hợp tổng 2 nghiệm và tích 2 nghiệm của pt với ht x1 = 3x2,
Ta có hệ pt gồm 3 pt sau :
x1 + x2 = - b/a = m + 1 (*)
X1x2 = c /a = m
(**)
X1 = 3x2
(***)
Giải hệ pt gồm 3 pt (*), (**)và (***) ta tìm được : m1 = 3 ; m2 = 1/3 .
Vậy với m = 3 , hoặc m = 1/3 thì pt (1) thỏa mãn hệ thức : x1 = 3x2 .

8, Ta thấy pt (1) có : = (m -1 )2 0 . m R .
* Nếu : m - 1 = 0  m = 1 => pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = 1 .
* Nếu : m -1
0 m
1 => pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
X1 =

; x2 =

.

9,

Ta biến đổi Bt: B = x1 ( 1 – x2 ) + x2 ( 1 – x1 ) + x1x2 .
về bt thu gọn là hằng số không chứa tham số m ,
diều đo chứng tỏ giá trị bt B m .
( * ) Thật vậy ta có : B = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 + x1x2 = (x1 + x2 ) – x1x2
B = m + 1 – m =1 ( hằng số ) .
(* ) Vậy : gtbt : B = 1 , không phụ thuộc vào giá trị m .

GV : Xuân Hà

12

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
10- Ta có a và b là độ dài 2 cạnh của HCN nên
ta có chu vi 2(a + b) = 10 (4)
 a + b = 5 , ngoài ra avà b là 2 nghiệm của pt (1) ta có a +b = m + 1.(5)
Từ (4) , (5) => m +1 = 5 => m = 4 .Ta biết :x1 = 1 , x2 = m .
 x1 = 1 , x2 = 4 . và gt cho a < b , nên ta chọn a = 1; b = 4 .
=> HCN có các cạnh là 1 (cm) và 4 ( cm ) .
11,
Tìm m để tích 2 nghiệm : x1x2 = 5 , tính tổng 2 nghiệm ấy ?
Ta có :
x1x2 = c/a = m = 5 => m = 5
và : x1 + x2 = - b/a = m + 1 mà m = 5 ,
=> x1 + x2 = 6 . Hay : x1x2 = 5 , x1 + x2 = 6 .
12,

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ vào gtrị m .
Ta có : S = x1 + x2 = m + 1 <=> m = S – 1 (6)
P = x1x2 = m
<=> m = P
(7)
Từ (6) và (7) => S – 1 = P <=> x1 + x2 -1 = x1x2
 x1 – x1x2 + x2 – 1 = 0 ( hệ thức cần tìm )

13 – Tìm giá trị m thỏa mãn hệ thức :
. (+)
Hệ thức (+) xẩy ra  x1 + x2 0  m + 1 0  m - 1 . (8)
Bình fương 2 vế của Ht (+) ta có : x12 + x22 - 2x1x2 = x12 + x22 +2x1x2 .
 4 x1x2 = 0  x1x2 = 0  m = 0 (9)
 Từ (8) và (9)  m = 0 . Thì pt (1) có 2 nghiệm
 x1 và x2 thỏa mãn hệ thức :
. ./.
( Lưu ý : các bạn cần giải cụ thể , lý luận chặt chẽ hơn ) .

Bài 2: Cho phương trình bậc hai :

X2 - 2(m + 1) x + m - 4 = 0 (1)
a, Giải phương trình ( 1 ) khi m = 1.
b, Chứng minh rằng pt (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ?
c , Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1)đã cho . CMR Biểu thức :
K = x1(1- x2 )+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào giá trị của m .
Hướng dẫn giải- áp án : Đề 1 .
a,

khi m = 1 thì pt có 2 nghiệm :
x1 = 2 +
Và :
x2 = 2 '
2
b,  = (m + ) + > 0 m => pt luôn có 2 nghiệm với mọi m .
c, ' > 0 , m . Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và
K = x1 - x1x2 + x2 - x1x2 = ( x1 + x2 ) - x1x2 =10 ( hằng số)  m

GV : Xuân Hà

13

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
Bài 3 : Cho phương trình bậc hai :
X2 - (m + 1) x + m2 - 2m + 2 = 0 (1)
a, Giải phương trình ( 1 ) khi m = 2 .
b, Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu ,
có một nghiệm x1 =2 và tìm nghiệm x2 còn lại .
c , Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) ,
Tìm m để gtBt : A = x12 + x22 - x1.x2 đạt max ?
Hướng dẫn giải -áp án: Đề 2 .
a,
b,

Hs tự giải .
 = - 3( m - )2 - > 0  ( m - )2 - < 0  ( 1 < m < ) .
Thì pt có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và 2 nghiệm cùng dấu
 P > 0  m2 -2m + 2 > 0 m thuộc ĐKXĐ  ( 1 < m < ) ;
(*) Thay x1 = 2 vào pt ta có : m2 - 4m + 4 = 0  m = 2 ( thõa mãn ĐK )
 x2.x1 =  x2 = = 1  x2 = 1 .
c,  > 0  (1< m < ) thì pt có 2 nghiệm x1, x2 khi đó :
A = x12 + x22 - x1x2 = ( x1 + x2)2 - 3 x1x2 = ( m + 1)2 -3( m2 -2m +2)
A = -2m2 + 8m - 5 = 3 - 2 (m - 2 )2  3
 A(max) = 3  m = 2 ( thõa ĐK bt)

Bài 4:
Cho parabol (P) có đỉnh ở gốc tọa độ O và đi qua điểm A (1 ; ) .
a, viết phương trình của parabol (P)
b, viết phương trình của đường thẳng d song song với đường thẳng
x + 2y = 1 và đi qua điểm B(0; m ). Với giá trị nào của m thì đường
thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x1 và x2 ,
sao cho thỏa mãn : 3x1 + 5x2 = 5 .

Hướng dẫn giải -áp án: Đề 3
a, khi (P) đi qua O có dạng : y = a x2 và đi qua A(1; - )
=> có pt (P) là : Y = - x2 .
b , Ta có (d) // đthẳng x + 2y = 1  y = - x +b và đi qua B (0; m)
 Pt (d) là : y = - x + m ( m≠ ) (d) và (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  pt hoành
độ : - x2 = - x + m  x2 - 2x + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt  ' = 1 - 4m > 0
GV : Xuân Hà
14

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
 m < ; Vậy : m < thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1 ,x2 thõa mãn : 3x1 + 5 x2 =
5,
theo vi ét ta có : x1 + x2 = 2 và x1x2 = 4m => 
 x1x2 = 4m  m = -  Đkbt (nhận).

Bài 5:
Cho đường thẳng d có phương trình : y = ( m+1 ) x + m (d)
và Parabol (P) có phương trình : y = 2x2 .
a,
Vẽ đồ thị hàm số (d) biết (d) đi qua điểm M ( 2;4 )
và đồ thị hàm số y = 2x2 trên cùng một hệ tọa độ .
b,

Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P)
Tại hai điểm phân biệt A và B nằm về về 2 phía đối
Với trục tung OY .
Hướng dẫn giải -áp án: Đề4

a, Pt đường thẳng (d) xác định là : y = x + 2 ; Hs tự vẽ …,
b, (d) cắt (P) tại 2điểm phân biệt A và B nằm 2 phía đối với oy
Pt hoành độ có 2 nghiệm phân biệt   > 0 và P < 0
 m > 5 + hoặc 0 < x < 5 - .

Bài 6:

Cho phương trình : 2x2 - 6x + m = 0 (1)
a, Giải Pt (1) khi m = 4 .
b, Tìm m để pt (1) có 2 nghệm dương ?
c, Tìm m để pt (1) có 2 nghiện x1 , x2 sao cho :

+

=3.

Hướng dẫn giải -áp án: Đề 5
a,
Với m =4 => pt có nghiệm : x1 =1 ; x2 =2 ;
b, Pt có 2 nghiệm dương  (0 < x < )
c,
 > 0  pt có 2 nghiện phân biệt thõa mãn : + = 3
 ( x1 + x2 )2 - 5x1x2 = 0 , kết hợp vi ét giải ra ta có m =  đkbt.

GV : Xuân Hà

15

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
Bài 7:

Cho phương trình ẩn x : x2- 2 (m+1)x + n + 2 = 0 (1) .
a, Giải Pt (1) khi : m = - 2 và n = - 1 .
b, Tìm giá trị của m và n để Pt(1) có hai nghiệm phân biệt là 3 và - 2 .
c , Cho m = 0 , tìm các giá trị nguyên của n để Pt(1) có hai
Nghiệm x1 và x2 thỏa mãn : = là số nguyên .

Bài 8:

Cho Pt :
3x + 2x + m + m + 1 = 0 (9)
a,
Giải Pt (9) khi m = - 1 .
b,
Xác định m để pt (9) có nghiệm,
c, Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của pt(9), tìm m để pt có 2 nghiệm cùng dương.

Bài 9:

Cho pt :
mx2 - (m + 2)x + m - 3 = 0
a,
Giải pt khi m = 2.
b,
Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt cùng âm .
c, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt(10)
không phụ thuộc vào m .

(10)

Bài 10:

Cho Pt : x2 - 2 ( m + 1) x + m2 + 2 = 0 (11)
a, Giải Pt khi m = 1
b, Tìm gtrị m để Pt (11) có hai nghiệm x1 ,x2 thõa mãn : x12 + x22 = 12 c, Tìm m để Pt
có hai nghiệm x1;x2 thõa mãn K = đạt max, min
Bµi 11 :
a)
b)
c)
d)
Bµi 12 :
e)
f)
g)
h)

Cho PT : 2x2 + (2m-1)x + m - 1 = 0
CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ?
X¸c ®Þnh m ®Ó PT cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã ?
X¸c ®Þnh m ®Ó PT cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
X¸c ®Þnh m ®Ó PT cã 2 nghiÖm tháa m·n : -1 < x1< x2 < 1

Cho PT : 2x2 + (2m-1)x + m - 1 = 0
CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ?
X¸c ®Þnh m ®Ó PT cã nghiÖm kÐp . T×m nghiÖm kÐp ®ã ?
X¸c ®Þnh m ®Ó PT cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
X¸c ®Þnh m ®Ó PT cã 2 nghiÖm tháa m·n : -1 < x1< x2 < 1

Bµi 13 :

Cho PT : x2 + (4m + 1)x + 2(m-4) = 0
a) T×m m ®Ó PT cã 2 n0 tháa m·n : x2 - x1 = 17
b) T×m m ®Ó biÓu thøc A = (x1 - x2)2 ®¹t GTNN ?

GV : Xuân Hà

16

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a 2 n0 kh«ng phô thuéc vµo m ?
Bµi 14 (PT):
a)
b)
c)
d)

Cho PT : mx2 - 2(m+1)x + (m-4) = 0
T×m m ®Ó PT cã n0
T×m m ®Ó PT cã 2 n0 tr¸i dÊu. Khi ®ã trong hai n0, n0 nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
lín
X¸c ®Þnh m PT cã n0 tháa m·n : x1 + 4x2 = 3
T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m

Bµi 15 :

Cho PT : x2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0
a) Gi¶i PT víi m = 1
b) Chøng minh PT lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
c) Gäi x1 , x2 lµ hai nghiÖm cña PT ®· cho. Chøng minh r»ng biÓu thøc :
A = x1(1-x2) + x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m

Bµi 16 :

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai x2 + (m+1)x + m = 0
a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. T×m nghiÖm ®ã ?
b) TÝnh y = x12 + x22 theo m . T×m m ®Ó y ®¹t GTNN ?

Bµi 17:

Cho PT : 2x2 + (2m - 1)x + m -1 = 0
a) T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm tháa m·n : 3x1 - 4x2 = 11
b) T×m m ®Ó PT cã hai nghiÖm ®Òu d¬ng ?
c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m ?

Bµi 18:

Cho PT : x2 - 2(m+1)x + 2m + 10 = 10
a) Gi¶i vµ biÖn luËn PT trªn ?
b) T×m m ®Ó A = 10 x1x2 + x12 + x22 ®¹t GTNN .T×m GTNN ®ã ?

Bµi 19 :

Cho PT : x2 + (4m + 1)x + 2(m-4) = 0
d) T×m m ®Ó PT cã 2 n0 tháa m·n : x2 - x1 = 17
e) T×m m ®Ó biÓu thøc A = (x1 - x2)2 ®¹t GTNN ?
f) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a 2 n0 kh«ng phô thuéc vµo m ?

C©u 20 : ( 2 ®iÓm )

Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2 ( m + n)x + 4mn = 0 .
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1 ; n = 3 .
b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m ,n .
c) Gäi x1, x2, lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . TÝnh
theo m ,n .

GV : Xuân Hà

17

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.

II. HÌNH HỌC : (3,5 - 4,0 đ) - Thời gian ôn thi 11 buổi .
 Toán chứng minh tứ giác nội tiếp
 Toán chứng minh hệ thức sử dụng đến kiến thức hệ thức lượng trong tam
giác vuông hay hai tam giác đồng dạng .
 Toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng
 Toán chứng minh các tam giác đồng dạng
 Toán chứng minh tia phân giác của một góc
 Toán chứng minh các đường thẳng song song , đồng quy
 Toán tìm quỹ tích của điểm ………………..
 Toán tìm cực trị trong hình học…….
 Toán tìm số đo góc…
 Toán chưng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn…
* Các bài tập vận dụng :
Bài 1:

Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC .
Qua B kẻ đường thẳng vuông với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC
theo thứ tự ở H và K .
a, Chứng minh rằng : BHCD là tứ giác nội tiếp .
b, Tính ?
c, Chứng minh rằng : KC.KD = KH.KB
d, Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển
trên đường nào ?
Hướng dẫn giải
(*) hình tự vẽ .
a, Ta có : = = 90 (gt) =>  BHCD nội tiếp ( Bt q tích)
b, Ta tính được :
= 450
c,Ta cm được :  KCH ∽  KBD (gg) => KC.KD = KH . KB (t/c) .
d, Khi E di chuyển trên BC thì DH  BK ( không đổi) => =900
( không đổi) => H ( I ; ) .vì E di chuyển trên BC nên H di chuyển trên
Cung BC của đường tròn ngoại tiếp ABCD (cả 2 điểm B và C ) .
0

GV : Xuân Hà

18

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
Bài 2:

Cho đường tròn tâm (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên
cung lớn BC sao cho AC > AB và AC > BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ
BC . Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P , Q lần lượt là
giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD ; AD với CE .
a,
Chứng minh rằng : DE // BC .
b,
Chứng minh rằng : Tứ giác PACQ nội tiếp .
c,
Tứ giác PBCQ là hình gì ? Tại sao ?
d,
Gọi giao điểm của các dây AD , BC là M .
Chứng minh rằng : = + .
Hướng dẫn giải

( Hình tự vẽ ) .

a,Ta cm dược : DE  OD (t/c) và BC  OD (t/c) => DE //BC (t/c)
b, Ta cm được : = sđ ( - ) và = sđ ( - )
mà = => = => 4 điểm P , Q , C, A nằm trên
cùng một đường tròn ( bt quỹ tích) =>  APQC nội tiếp .
c,  BCQP là hình thang .
Ta cm được : = ( cùng chắn ) mà (gt)
=> = mà = ( cùng chắn )
=> = => PQ //BC (t/c) =>  BPQC là hình thang ./.
d, Ta có : DE // CM ( C/m câu a) => = (t/c) (1)
Mặt khác ta có : = => CD là phân giác => = (t/c) (2)
Từ (1) và (2) => = => = (t/c)
=> = => CM.CQ = CE . (CQ + CM)
=> = => = + ( điều cần c/m) ./

BÀI 3 :
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng cố định không
Cắt (O;R) . Hạ OH vuông góc với d . M là một điểm thay đổi trên d
( M không trùng với H ) . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ ( P, Q là tiếp điểm ) với
đường tròn ( 0 ; R) . Dây cung PQ cắt OH ở I , Cắt OM ở K .
a, Chứng minh : 5 điểm O, Q, H, M, P cùng nằm trên một đườngtròn
b, Chứng minh :
IH . IO = IQ . IP .
c, Chứng minh khi M thay đổi trên d thì tích IP . IQ không đổi .
d, Giả sử góc PMQ = 60o , tính tỷ số S hai tam giác MPQ & OPQ .

GV : Xuân Hà

19

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH LÊN 10 : NĂM HỌC 2021- 2022.
Hướng dẫn giải

( Hình tự vẽ )

a,
HS tự c/m .
b, Ta có :  IHQ ∽ IPO (gg) => = (t/c) => IH.IO = IP.IQ ,
c, Ta có :  OHM ∽ OKI (gg) => =
=> OH.OI = OM.Ok mà Tam giác OPM vuông tại P
=> OP2 =OK. OM (t/c) => OK.OM = R2 mà OK.OM = OI.OH
=> OI.OH = R2=> OI = ( R , OH không đổi )
=> OI (kh/ đổi) => OI.IH (kh/ đổi ) => Tích IP.IQ (kh/đổi ) ,
d,

Ta có : = 600 => = 300 => OM = 2OP = 2R
và có :
= 300 => OK = OP (t/c) => OK = R
=> MK = OM - OK = 2R - R = R
=> = = = 3 => Vậy :
=3.

BÀI 4 :
Cho nữa đường tròn đường kính AB . C là điểm chạy trên nửa đường tròn (không
trùng với A và B) CH là đường Cao của tam giác ACB . I và K lần lượt là chân đường
vuông Góc Hạ từ H xuống AC và BC . M , N lần lượt là trung điểm của AH và HB .
a, Tứ giác CIHK là hình gì , so sánh CH và IK ?
b, Chứng minh rằng : AIKB là tứ giác nội tiếp .
c, Xác định vị trí của C để :
* Chu vi tứ giác MIKN lớn nhất và điện tích tứ giác MIKN lớn nhất ?
Hướng dẫn giải

(Hình tự vẽ )

a , Ta c/m được :  CIHK là hình chữ nhật => CH = IK (t/c) .
b, Ta c/m dược : + = 1800 mà = (đv) =
=>  AIKB nội tiếp đường tròn (đl) .
c , Điểm C nằm trung điểm cung AB thì CH = AB (không đổi)
Và đạt max  IK đạt max  IK = AB = MN
chu vi và diện tích hình chữ nhật MIKN đạt max có chiều dài bằng R , rộng bằng R .

BÀI 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi O là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , d là tiếp tuyến của đường
tròn tại A ...